Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°.

Ответ: ∠AMC = 140°

Решение:

1. Дано: \(\triangle ABC\) - равнобедренный, \(BC\) - основание, \(\angle MBC = 30^\circ\), \(\angle MCB = 10^\circ\), \(\angle BAC = 80^\circ\).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle ABC = \angle ACB\).
3. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \(\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ\).
4. Подставим известные значения: \(\angle ABC + \angle ACB + 80^\circ = 180^\circ\).
5. \(\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
6. Так как \(\angle ABC = \angle ACB\), то \(2 \cdot \angle ABC = 100^\circ\), следовательно, \(\angle ABC = \angle ACB = 50^\circ\).
7. В треугольнике \(\triangle MBC\) известны два угла: \(\angle MBC = 30^\circ\) и \(\angle MCB = 10^\circ\). Найдем \(\angle BMC\): \(\angle BMC = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).
8. Теперь найдем углы \(\angle MBA\) и \(\angle MCA\): \(\angle MBA = \angle ABC - \angle MBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ\), \(\angle MCA = \angle ACB - \angle MCB = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ\).
9. Рассмотрим четырехугольник \(ABMC\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Из этого следует, что \(\angle AMC = 360^\circ - (\angle BAC + \angle MBA + \angle MCA + \angle BMC )=360^\circ - \angle ABC - \angle ACB - \angle BAC=\), следовательно \(\angle AMC = 360^\circ - (80^\circ + 20^\circ + 40^\circ)=140^\circ \).

Ответ: ∠AMC = 140°