Вопрос № 1: АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОА= 16 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120°. Чему равен отрезок ОВ?

Давайте решим эту задачу вместе. 1. Нарисуем чертеж. У нас есть окружность с центром в точке О. Из точки B проведены две касательные AB и BC. Радиусы OA и OC проведены в точки касания A и C соответственно. Угол между радиусами ∠AOC = 120°. Нам нужно найти длину отрезка OB. 2. Рассмотрим четырехугольник OABC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Так как AB и BC - касательные, углы ∠OAB и ∠OCB прямые, то есть равны 90°. Тогда ∠ABC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°. 3. Рассмотрим треугольник ABO. Этот треугольник прямоугольный (∠OAB = 90°). Угол ∠ABO равен половине угла ∠ABC, так как BO - биссектриса угла ∠ABC (касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, и линия, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными). То есть ∠ABO = 60° / 2 = 30°. 4. В прямоугольном треугольнике ABO мы знаем катет OA = 16 см и угол ∠ABO = 30°. Используем тригонометрическую функцию для нахождения гипотенузы OB: \( \sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB} \) \( \sin(30°) = \frac{16}{OB} \) Так как \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{16}{OB} \) \( OB = 16 \cdot 2 = 32 \) Следовательно, OB = 32 см. **Ответ: 32 см**