Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно болеют гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:

Обозначим события:

• $$H$$ — пациент действительно болен гепатитом.
• $$H^c$$ — пациент не болен гепатитом.
• $$A$$ — анализ показал положительный результат.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• $$P(H) = 0.05$$ (5% пациентов действительно болеют гепатитом).
• $$P(H^c) = 1 - P(H) = 1 - 0.05 = 0.95$$ (вероятность того, что пациент не болен гепатитом).
• $$P(A|H) = 0.9$$ (вероятность положительного результата при наличии гепатита).
• $$P(A|H^c) = 0.01$$ (вероятность ложноположительного результата при отсутствии гепатита).

Нам нужно найти вероятность того, что результат анализа будет положительным, то есть $$P(A)$$. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности:

\[ P(A) = P(A|H)P(H) + P(A|H^c)P(H^c) \]

Подставим известные значения:

\[ P(A) = (0.9 \times 0.05) + (0.01 \times 0.95) \]\[ P(A) = 0.045 + 0.0095 \]\[ P(A) = 0.0545 \]

Проверка:

Нам нужно найти вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Это и есть $$P(A)$$.

Ответ: 0.0545