Вычислить а) $$\frac{\sin 75^\circ}{\sin 285^\circ} + \sin 105^\circ$$; б) $$\sin \frac{7\pi}{6}$$

Решение:

а) Вычисление выражения:

Для начала преобразуем углы:

• $$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
• $$\sin 285^\circ = \sin(360^\circ - 75^\circ) = -\sin 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
• $$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Теперь подставим значения в выражение:

$$\frac{\sin 75^\circ}{\sin 285^\circ} + \sin 105^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Полученный результат можно оставить в таком виде или приближенно вычислить.

б) Вычисление $$\sin \frac{7\pi}{6}$$:

Угол $$\frac{7\pi}{6}$$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.

$$\sin \frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: а) $$-1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$; б) $$-0.5$$.