Задание 3. Упростить выражение (tga - sina) * (cos²a / sina + ctga)

Решение:

Упростим данное выражение: \( (\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha) \left( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha \right) \).

Сначала преобразуем выражения в скобках:

1. Первая скобка: \( \operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha = \sin \alpha \left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right) = \sin \alpha \left( \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha} \right) \).
2. Вторая скобка: \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha} \).

Теперь перемножим полученные выражения:

\( \sin \alpha \left( \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha} \right) \cdot \frac{\cos \alpha(\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha} \)

Сокращаем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\):

\( (1 - \cos \alpha)(\cos \alpha + 1) \)

Это формула разности квадратов: \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).

\( 1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).

По основному тригонометрическому тождеству, \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), следовательно, \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Ответ: \(\sin^2 \alpha\).