Задание 4. Доказать тождество: а) (1 + sin 2a + cos 2a) / (1 + sin 2a - cos 2a) = ctg2a б) cos 2a + cos (π/2 - a) / sina = cosa

Решение:

а) Доказываем тождество:

$$\frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha$$

Используем формулы двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \) (чтобы получить \( 1 - \cos 2\alpha \) в знаменателе).

Левая часть:

$$\frac{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1)}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 1} = \frac{2 \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha}$$

Здесь была ошибка в применении формулы косинуса. Попробуем иначе:

Используем \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \) для числителя и \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \) для знаменателя.

Числитель: \( 1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \).

Знаменатель: \( 1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = (1 - \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$$.

Получилось \( \operatorname{ctg} \alpha \), а нужно доказать \( \operatorname{ctg} 2\alpha \).

Пересмотрим применение формул:

Воспользуемся формулами:
\( 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \)
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)

Левая часть:

$$\frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)} = \frac{2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$$.

Похоже, в условии задания опечатка, и должно быть доказано тождество с \(\operatorname{ctg} \alpha\), а не \(\operatorname{ctg} 2\alpha\).

б) Доказываем тождество:

$$\cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha$$

Используем формулу приведения: \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \).

Подставляем в левую часть:

$$\cos 2\alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}$$

При условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \), получаем:

$$\cos 2\alpha + 1$$

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).

$$\cos 2\alpha + 1 = (2 \cos^2 \alpha - 1) + 1 = 2 \cos^2 \alpha$$

Получилось \( 2 \cos^2 \alpha \), а нужно доказать \( \cos \alpha \).

Пересмотрим применение формул.

Воспользуемся формулой \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \) в первой части.

$$\cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = (1 - 2 \sin^2 \alpha) + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}$$

Если \( \sin \alpha \neq 0 \), то:

$$1 - 2 \sin^2 \alpha + 1 = 2 - 2 \sin^2 \alpha = 2(1 - \sin^2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha$$.

Проверим условие задания. Если в знаменателе не \(\sin \alpha\), а \( \sin \alpha \) в знаменателе части выражения, или если \(\cos 2\alpha\) это \(\cos \alpha\).

Возможно, в задании ошибка. Давайте предположим, что нужно доказать: \( \cos \alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha \).

Тогда:

$$\cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha + 1$$

Это не равно \( \cos \alpha \).

Давайте предположим, что в задании было: \( \cos 2\alpha + \frac{\sin(2\alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha \)

$$\cos 2\alpha + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 2 \cos \alpha = (2 \cos^2 \alpha - 1) + 2 \cos \alpha$$

Это тоже не \( \cos \alpha \).

Проверим еще раз формулу приведения и условие: \( \cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha \)

\( \frac{\pi}{2} - \alpha \) — это угол в первой четверти (если \(\alpha\) в первой или второй), косинус там положительный.

\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \).

Левая часть: \( \cos 2\alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 1 \).

Чтобы \( \cos 2\alpha + 1 = \cos \alpha \), это невозможно.

Возможно, имелось в виду \( \cos \alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha \).

$$\cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha + 1$$. Это не \(\cos \alpha\).

Предположим, что имелось в виду \( \cos \alpha + \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \).

$$\cos \alpha + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha + 2 \cos \alpha = 3 \cos \alpha$$. Это не \(\cos \alpha\).

Рассмотрим последнее предложенное решение: \( \cos 2\alpha + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) / \sin \alpha = \cos \alpha \)

\( \cos 2\alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 1 \)

Чтобы \( \cos 2\alpha + 1 = \cos \alpha \), это неверно.

Если предположить, что \( \cos 2\alpha \) должно быть \( \cos \alpha \), тогда:

$$\cos \alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha + 1$$.

Если предположить, что \( \cos \alpha \) справа должно быть \( \cos 2\alpha + 1 \)

$$\cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 1$$.

В итоге, если предположить, что задание было: доказать \( \cos 2\alpha + 1 = \cos \alpha \), то это неверно. Если предположить, что: \( \cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 1 \), то это верно, при условии \( \sin \alpha \neq 0 \).

Предполагая, что в задании опечатка и справа должно быть \( \cos 2\alpha + 1 \).

\( \cos 2\alpha + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha + 1 \).

Ответ: а) Тождество с \(\operatorname{ctg} 2\alpha\) неверно, доказано \(\operatorname{ctg} \alpha\); б) Тождество с \(\cos \alpha\) неверно, доказано \(\cos 2\alpha + 1\).