Задание 2. cos α = -5/13; 3π/2 < α < 2π. Найти: а) sin α; cos α; tg α; ctg α б) cos (π/4 - α)

Решение:

Дан: \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). Это означает, что угол \(\alpha\) находится в IV четверти.

а) Находим sin α, tg α, ctg α:

1. Находим sin α:
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).
   Так как \(\alpha\) в IV четверти, \(\sin \alpha < 0\).
   \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \).
2. Находим tg α:
   \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} \).
3. Находим ctg α:
   \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12} \).

б) Находим cos (π/4 - α):

Используем формулу косинуса разности: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

В нашем случае \( A = \frac{\pi}{4} \) и \( B = \alpha \).

\( \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \)

Подставляем известные значения: \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \sin \alpha = -\frac{12}{13} \).

\( \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{26} - \frac{12\sqrt{2}}{26} = -\frac{17\sqrt{2}}{26} \).

Ответ: а) \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5}\), \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5}{12}\); б) \(\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = -\frac{17\sqrt{2}}{26}\).