1 Вычислить: 1) log₅ 125; 2) lg 0,01; 3) 2^(log₂3); 4) 3^(2 log₃7); 5) log₂ 68 - log₂ 17.

Решим каждый пример по отдельности.

1. $$log_5 125$$

   Представим число 125 как 5 в степени 3:

   $$log_5 125 = log_5 5^3$$

   Выносим степень за знак логарифма:

   $$log_5 5^3 = 3 log_5 5$$

   Т.к. $$log_5 5 = 1$$, то

   $$3 log_5 5 = 3 \cdot 1 = 3$$

   Ответ: 3

2. $$lg 0{,}01$$

   Десятичный логарифм – это логарифм по основанию 10. Представим 0,01 как 10 в степени -2:

   $$lg 0{,}01 = log_{10} 0{,}01 = log_{10} 10^{-2}$$

   Выносим степень за знак логарифма:

   $$log_{10} 10^{-2} = -2 log_{10} 10$$

   Т.к. $$log_{10} 10 = 1$$, то

   $$-2 log_{10} 10 = -2 \cdot 1 = -2$$

   Ответ: -2

3. $$2^{log_2 3}$$

   По основному логарифмическому тождеству $$a^{log_a b} = b$$, следовательно:

   $$2^{log_2 3} = 3$$

   Ответ: 3

4. $$3^{2 log_3 7}$$

   Преобразуем степень:

   $$3^{2 log_3 7} = 3^{log_3 7^2} = 3^{log_3 49}$$

   По основному логарифмическому тождеству $$a^{log_a b} = b$$, следовательно:

   $$3^{log_3 49} = 49$$

   Ответ: 49

5. $$log_2 68 - log_2 17$$

   Используем свойство логарифмов: $$log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c}$$

   $$log_2 68 - log_2 17 = log_2 \frac{68}{17} = log_2 4$$

   Представим 4 как 2 в степени 2:

   $$log_2 4 = log_2 2^2$$

   Выносим степень за знак логарифма:

   $$log_2 2^2 = 2 log_2 2$$

   Т.к. $$log_2 2 = 1$$, то

   $$2 log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$$

   Ответ: 2