2. Вычислить неопределённый интеграл, используя интеграл по частям: ∫ x²ex dx

Для вычисления неопределенного интеграла ∫ x²eˣ dx используем метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Пусть u = x², dv = eˣ dx.

Тогда du = 2x dx, v = ∫ eˣ dx = eˣ.

Применяем формулу:

$$ ∫ x²eˣ dx = x²eˣ - ∫ eˣ (2x) dx = x²eˣ - 2 ∫ xeˣ dx $$

Теперь нужно вычислить ∫ xeˣ dx. Снова интегрируем по частям.

Пусть u = x, dv = eˣ dx.

Тогда du = dx, v = ∫ eˣ dx = eˣ.

Применяем формулу:

$$ ∫ xeˣ dx = xeˣ - ∫ eˣ dx = xeˣ - eˣ + C₁ $$

Подставляем это обратно в первый интеграл:

$$ ∫ x²eˣ dx = x²eˣ - 2(xeˣ - eˣ) + C = x²eˣ - 2xeˣ + 2eˣ + C $$

Ответ: $$x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$$