3. Вычислить определённый интеграл, используя формулу Лейбница: e2 ∫ dx e x ln x

Для вычисления определенного интеграла $$ \int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \ln x}$$ используем замену переменной.

Пусть $$u = \ln x$$, тогда $$du = \frac{dx}{x}$$.

Пределы интегрирования изменяются следующим образом:

Когда $$x = e$$, $$u = \ln e = 1$$.

Когда $$x = e^2$$, $$u = \ln e^2 = 2$$.

Таким образом, интеграл преобразуется к виду:

$$\int_{1}^{2} \frac{du}{u} = \ln |u| \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$$

Ответ: $$\ln 2$$