4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную осью Ох и функцией на заданном интервале: y = x² - 2x, x ∈ [0; 3]

Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью Ox и функцией y = x² - 2x на интервале x ∈ [0; 3], нужно вычислить определенный интеграл от модуля функции на данном интервале.

Сначала найдем нули функции y = x² - 2x:

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0, x = 2

На интервале [0; 2] функция y = x² - 2x отрицательна, а на интервале [2; 3] положительна.

Поэтому площадь будет равна:

$$ S = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx $$

Вычислим первый интеграл:

$$ \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} $$

Вычислим второй интеграл:

$$ \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_2^3 = (\frac{3^3}{3} - 3^2) - (\frac{2^3}{3} - 2^2) = (9 - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = 0 - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3}) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} $$

Суммируем площади:

$$ S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} $$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$