1. Вычислить неопределённый интеграл, используя подведения под знак дифференциала: ∫ x(x + 2)⁹ dx

Для вычисления неопределенного интеграла ∫x(x + 2)⁹ dx используем метод подведения под знак дифференциала.

Пусть u = x + 2, тогда x = u - 2 и dx = du.

Исходный интеграл можно переписать как:

$$ ∫ (u - 2)u⁹ du = ∫ (u¹⁰ - 2u⁹) du $$

Интегрируем почленно:

$$ ∫ u¹⁰ du - 2∫ u⁹ du = \frac{u¹¹}{11} - 2 \frac{u¹⁰}{10} + C = \frac{u¹¹}{11} - \frac{u¹⁰}{5} + C $$

Подставляем u = x + 2:

$$ \frac{(x + 2)^{11}}{11} - \frac{(x + 2)^{10}}{5} + C $$

Ответ: $$\frac{(x + 2)^{11}}{11} - \frac{(x + 2)^{10}}{5} + C$$