2. Вычислить неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям: [ x²ex dx

Вычислим неопределённый интеграл ∫ x²eˣ dx, используя интегрирование по частям.

1. Интегрирование по частям задается формулой:

   $$ \int u dv = uv - \int v du $$

2. Выберем u и dv:

   u = x²

   dv = eˣ dx

3. Вычислим du и v:

   du = 2x dx

   v = ∫ eˣ dx = eˣ

4. Применим формулу интегрирования по частям:

   $$ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx $$

5. Теперь вычислим ∫ x eˣ dx, снова используя интегрирование по частям.

   Выберем u и dv:

   u = x

   dv = eˣ dx

6. Вычислим du и v:

   du = dx

   v = ∫ eˣ dx = eˣ

7. Применим формулу интегрирования по частям:

   $$ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1 $$

8. Подставим полученный интеграл обратно в исходное выражение:

   $$ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C $$

9. Вынесем eˣ за скобки:

   $$ e^x (x^2 - 2x + 2) + C $$

Ответ: $$e^x (x^2 - 2x + 2) + C$$