3. Вычислить определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: e2 ∫ dx x ln x e

Вычислим определённый интеграл ∫(e до e²) dx / (x ln x), используя формулу Ньютона-Лейбница.

Сначала найдём неопределённый интеграл:

$$∫ \frac{dx}{x \ln x}$$

Пусть u = ln x, тогда du = dx / x.

$$∫ \frac{dx}{x \ln x} = ∫ \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |\ln x| + C$$

Теперь применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$$∫_e^{e^2} \frac{dx}{x \ln x} = \ln |\ln x| \Big|_e^{e^2} = \ln |\ln e^2| - \ln |\ln e|$$

$$= \ln |2 \ln e| - \ln |\ln e| = \ln |2| - \ln |1| = \ln 2 - 0 = \ln 2$$

Ответ: $$\ln 2$$