1. Вычислить неопределённый интеграл, используя метод подведения под знак дифференциала: ∫ x(x + 2)⁹ dx

Для вычисления неопределенного интеграла ∫ x(x + 2)⁹ dx методом подведения под знак дифференциала, выполним следующие шаги:

1. Заметим, что x можно выразить через (x + 2) как x = (x + 2) - 2. Тогда интеграл можно переписать как:

   $$ \int x(x + 2)^9 dx = \int ((x + 2) - 2)(x + 2)^9 dx $$

2. Раскроем скобки:

   $$ \int ((x + 2) - 2)(x + 2)^9 dx = \int (x + 2)^{10} - 2(x + 2)^9 dx $$

3. Теперь можно разбить интеграл на два:

   $$ \int (x + 2)^{10} - 2(x + 2)^9 dx = \int (x + 2)^{10} dx - 2 \int (x + 2)^9 dx $$

4. Вычислим каждый из интегралов. Для этого воспользуемся заменой переменной u = x + 2, тогда du = dx.

   Интеграл 1:

   $$ \int (x + 2)^{10} dx = \int u^{10} du = \frac{u^{11}}{11} + C_1 = \frac{(x + 2)^{11}}{11} + C_1 $$

   Интеграл 2:

   $$ 2 \int (x + 2)^9 dx = 2 \int u^9 du = 2 \cdot \frac{u^{10}}{10} + C_2 = \frac{(x + 2)^{10}}{5} + C_2 $$

5. Объединим результаты:

   $$ \frac{(x + 2)^{11}}{11} - \frac{(x + 2)^{10}}{5} + C $$

6. Приведем к общему знаменателю:

   $$ \frac{5(x + 2)^{11} - 11(x + 2)^{10}}{55} + C = \frac{(x + 2)^{10}(5(x + 2) - 11)}{55} + C = \frac{(x + 2)^{10}(5x + 10 - 11)}{55} + C $$

7. Окончательно получим:

   $$ \frac{(x + 2)^{10}(5x - 1)}{55} + C $$

Ответ: $$\frac{(x + 2)^{10}(5x - 1)}{55} + C$$