2. Вычислить неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям: ∫ x²ex dx

Для вычисления неопределённого интеграла ∫ x²ex dx методом интегрирования по частям, используем формулу:

$$∫ u dv = uv - ∫ v du$$

Пусть u = x², тогда du = 2x dx.

Пусть dv = ex dx, тогда v = ∫ ex dx = ex.

Подставляем в формулу:

$$∫ x²ex dx = x²ex - ∫ ex (2x) dx = x²ex - 2 ∫ x ex dx$$

Теперь нужно вычислить интеграл ∫ x ex dx, снова интегрируя по частям.

Пусть u = x, тогда du = dx.

Пусть dv = ex dx, тогда v = ∫ ex dx = ex.

$$∫ x ex dx = xex - ∫ ex dx = xex - ex + C$$

Подставляем обратно:

$$∫ x²ex dx = x²ex - 2 (xex - ex) + C = x²ex - 2xex + 2ex + C = ex (x² - 2x + 2) + C$$

Ответ: $$e^x (x² - 2x + 2) + C$$