4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную осью Ох и функцией, на заданном интервале: y = x² - 2x, x ∈ [0;3]

Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью Ox и функцией y = x² - 2x на интервале x ∈ [0;3], необходимо вычислить определённый интеграл от модуля функции на данном интервале.

$$S = ∫_0^3 |x² - 2x| dx$$

Сначала найдём нули функции на интервале [0;3]:

$$x² - 2x = 0$$

$$x(x - 2) = 0$$

$$x = 0, x = 2$$

Таким образом, на интервале [0;2] функция x² - 2x ≤ 0, а на интервале [2;3] функция x² - 2x ≥ 0.

Теперь разбиваем интеграл на два интеграла:

$$S = ∫_0^2 -(x² - 2x) dx + ∫_2^3 (x² - 2x) dx$$

$$= ∫_0^2 (2x - x²) dx + ∫_2^3 (x² - 2x) dx$$

$$= (x² - \frac{x^3}{3}) \Big|_0^2 + (\frac{x^3}{3} - x²) \Big|_2^3$$

$$= (2² - \frac{2^3}{3}) - (0² - \frac{0^3}{3}) + (\frac{3^3}{3} - 3²) - (\frac{2^3}{3} - 2²)$$

$$= (4 - \frac{8}{3}) + (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4)$$

$$= (4 - \frac{8}{3}) + (9 - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = 4 - \frac{8}{3} + 0 - \frac{8}{3} + 4 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$