2. Вычислить неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям: ∫ x²ex dx

2. Вычислить неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям: $$∫ x^2e^x dx$$

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $$∫ u dv = uv - ∫ v du$$

Пусть $$u = x^2$$, тогда $$du = 2x dx$$

Пусть $$dv = e^x dx$$, тогда $$v = ∫ e^x dx = e^x$$

Теперь подставим это в формулу:

$$∫ x^2e^x dx = x^2e^x - ∫ e^x 2x dx = x^2e^x - 2∫ xe^x dx$$

Теперь снова интегрируем по частям интеграл $$∫ xe^x dx$$

Пусть $$u = x$$, тогда $$du = dx$$

Пусть $$dv = e^x dx$$, тогда $$v = ∫ e^x dx = e^x$$

$$∫ xe^x dx = xe^x - ∫ e^x dx = xe^x - e^x + C$$

Теперь подставим это обратно в исходный интеграл:

$$∫ x^2e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

Ответ: $$e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$