4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную осью Ох и функцией, на заданном интервале: y = x²-2x, x ∈ [0;3]

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную осью Ox и функцией, на заданном интервале: $$y = x^2 - 2x$$, $$x ∈ [0; 3]$$

Для вычисления площади фигуры, ограниченной осью Ox и заданной функцией, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля функции на заданном интервале.

$$S = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx$$

Сначала найдем, где функция меняет знак на заданном интервале. Для этого найдем корни уравнения $$x^2 - 2x = 0$$:

$$x(x - 2) = 0$$

Корни: $$x = 0$$ и $$x = 2$$. Таким образом, на интервале $$[0, 2]$$ функция отрицательная, а на интервале $$[2, 3]$$ функция положительная.

Тогда интеграл можно разбить на два интеграла:

$$S = \int_{0}^{2} -(x^2 - 2x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx$$

Вычислим первый интеграл:

$$\int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2]_0^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{-8 + 12}{3} = \frac{4}{3}$$

Вычислим второй интеграл:

$$\int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_2^3 = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = (9 - 9) - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3}) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$$

Теперь сложим результаты:

$$S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$