3. Вычислить определённый интеграл, используя формулу Ньютона- Лейбница: e2 ∫e dx x ln x

Для вычисления определённого интеграла \(\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \ln x}\) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Сначала найдем неопределённый интеграл:

\(\int \frac{dx}{x \ln x}\)

Сделаем замену переменной: пусть \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{1}{x} dx\). Интеграл станет:

\(\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C\)

Вернёмся к исходной переменной: \(\ln |\ln x| + C\)

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\(\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \ln x} = \ln |\ln x| \Big|_{e}^{e^2} = \ln |\ln (e^2)| - \ln |\ln (e)|\)

Упростим выражение:

\(\ln |2| - \ln |1| = \ln 2 - 0 = \ln 2\)

Ответ: \(\ln 2\)