Вычислить значение выражения 26 cos² α - 1 при tg α= 1/5.

Решение:

Смотри, тут всё просто: нужно выразить cos через тангенс и подставить в выражение.

Пошаговое решение:

1. Выразим cos² α через tg α. Известно, что \( tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \). Также верно тригонометрическое тождество: \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \).
   Тогда \( sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha \). Подставим это в тождество:
   \( (tg \alpha \cdot cos \alpha)^2 + cos^2 \alpha = 1 \)
   \( tg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \)
   \( cos^2 \alpha (tg^2 \alpha + 1) = 1 \)
   \( cos^2 \alpha = \frac{1}{tg^2 \alpha + 1} \)
2. Подставим известное значение tg α = 1/5:
   \( cos^2 \alpha = \frac{1}{(\frac{1}{5})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{25} + 1} = \frac{1}{\frac{26}{25}} = \frac{25}{26} \)
3. Подставим найденное значение cos² α в исходное выражение:
   \( 26 cos^2 \alpha - 1 = 26 \cdot \frac{25}{26} - 1 = 25 - 1 = 24 \)

Ответ: 24