5. Вычислите √8+2√7+√8-2√7

Вычислим значение выражения $$\sqrt{8+2\sqrt{7}} + \sqrt{8-2\sqrt{7}}$$.

Предположим, что $$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ и $$\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$.

Возведем в квадрат:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = 8 + 2\sqrt{7}$$. Следовательно, $$a + b = 8$$ и $$ab = 7$$.

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b = 8 - 2\sqrt{7}$$. Следовательно, $$a + b = 8$$ и $$ab = 7$$.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 7 \\ \end{cases}$$. Выразим a из первого уравнения: $$a = 8 - b$$ и подставим во второе уравнение $$(8 - b)b = 7 \\ 8b - b^2 = 7 \\ b^2 - 8b + 7 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: $$b = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$.

$$b_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$$, $$b_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

Если $$b = 7$$, то $$a = 8 - 7 = 1$$. Если $$b = 1$$, то $$a = 8 - 1 = 7$$.

Тогда $$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{7} + 1$$ и $$\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1$$.

Следовательно, $$\sqrt{8+2\sqrt{7}} + \sqrt{8-2\sqrt{7}} = (\sqrt{7} + 1) + (\sqrt{7} - 1) = \sqrt{7} + 1 + \sqrt{7} - 1 = 2\sqrt{7}$$.

Ответ: $$2\sqrt{7}$$