291 Вычислите абсциссы точек пересечения параболы с осью х, изобразите параболу схематически и отметьте на оси х значения аргумента, при которых y = 0; y < 0; y > 0: а) y = x² – 1; б) y = -½x² + 2; в) y = x² + 4x – 5; г) y = x² – 6x + 5; д) y = x² – 5x + 6; е) y = -x² + x + 2. В каждом случае проверьте себя, подставив в формулу какое-нибудь значение x из найденного множества.

Решим данное задание:

а) y = x² – 1

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох, приравняв функцию к нулю:

x² - 1 = 0

x² = 1

x₁ = -1, x₂ = 1

Парабола пересекает ось Ох в точках (-1; 0) и (1; 0).

Схематическое изображение параболы:

     |
     |
   --|--
  /  |  \
-1--|--1-----> x
  \  |  /
   --|--
     |
     |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = -1 и x = 1
• y < 0 при -1 < x < 1
• y > 0 при x < -1 и x > 1

б) y = -½x² + 2

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох:

-½x² + 2 = 0

-½x² = -2

x² = 4

x₁ = -2, x₂ = 2

Парабола пересекает ось Ох в точках (-2; 0) и (2; 0).

Схематическое изображение параболы:

     |
   / | \
--2--|--2-----> x
   \ | /
     |
     |
     |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = -2 и x = 2
• y < 0 при x < -2 и x > 2
• y > 0 при -2 < x < 2

в) y = x² + 4x – 5

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох:

x² + 4x – 5 = 0

D = 16 + 20 = 36

x₁ = (-4 - 6) / 2 = -5

x₂ = (-4 + 6) / 2 = 1

Парабола пересекает ось Ох в точках (-5; 0) и (1; 0).

Схематическое изображение параболы:

     |
     |
   --|--
  /  |  \
-5--|--1-----> x
  \  |  /
   --|--
     |
     |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = -5 и x = 1
• y < 0 при -5 < x < 1
• y > 0 при x < -5 и x > 1

г) y = x² – 6x + 5

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох:

x² – 6x + 5 = 0

D = 36 - 20 = 16

x₁ = (6 - 4) / 2 = 1

x₂ = (6 + 4) / 2 = 5

Парабола пересекает ось Ох в точках (1; 0) и (5; 0).

Схематическое изображение параболы:

     |
     |
   --|--
  /  |  \
1--|--5-----> x
  \  |  /
   --|--
     |
     |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = 1 и x = 5
• y < 0 при 1 < x < 5
• y > 0 при x < 1 и x > 5

д) y = x² – 5x + 6

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох:

x² – 5x + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

x₁ = (5 - 1) / 2 = 2

x₂ = (5 + 1) / 2 = 3

Парабола пересекает ось Ох в точках (2; 0) и (3; 0).

Схематическое изображение параболы:

     |
     |
   --|--
  /  |  \
2--|--3-----> x
  \  |  /
   --|--
     |
     |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = 2 и x = 3
• y < 0 при 2 < x < 3
• y > 0 при x < 2 и x > 3

е) y = -x² + x + 2

Найдем абсциссы точек пересечения с осью Ох:

-x² + x + 2 = 0

D = 1 + 8 = 9

x₁ = (-1 - 3) / -2 = 2

x₂ = (-1 + 3) / -2 = -1

Парабола пересекает ось Ох в точках (2; 0) и (-1; 0).

Схематическое изображение параболы:

    |
  / | \
-|--|--2---> x
 \ | /
  |
  |

Определим знаки функции:

• y = 0 при x = -1 и x = 2
• y < 0 при x < -1 и x > 2
• y > 0 при -1 < x < 2

Ответ: Решение выше