Вычислите: \( \frac{22}{\sin^{2} (-52^{\circ}) + \sin^{2} 142^{\circ}} \).

Решение:

1. Используем свойства синуса:

   \[ \sin (-52^{\circ}) = -\sin (52^{\circ}) \]

   Следовательно:

   \[ \sin^{2} (-52^{\circ}) = (-\sin (52^{\circ}))^{2} = \sin^{2} (52^{\circ}) \]

2. Используем формулу приведения:

   \[ \sin (142^{\circ}) = \sin (180^{\circ} - 38^{\circ}) = \sin (38^{\circ}) \]

   Следовательно:

   \[ \sin^{2} (142^{\circ}) = \sin^{2} (38^{\circ}) \]

3. Подставим в исходное выражение:

   \[ \frac{22}{\sin^{2} (52^{\circ}) + \sin^{2} (38^{\circ})} \]

4. Применим основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса:

   Мы знаем, что \( 52^{\circ} + 38^{\circ} = 90^{\circ} \), значит \( \sin (52^{\circ}) = \cos (38^{\circ}) \) и \( \sin (38^{\circ}) = \cos (52^{\circ}) \).

   Тогда:

   \[ \sin^{2} (52^{\circ}) + \sin^{2} (38^{\circ}) = \sin^{2} (52^{\circ}) + \cos^{2} (52^{\circ}) = 1 \]

   Или:

   \[ \sin^{2} (52^{\circ}) + \sin^{2} (38^{\circ}) = \cos^{2} (38^{\circ}) + \sin^{2} (38^{\circ}) = 1 \]

5. Окончательный расчет:

   \[ \frac{22}{1} = 22 \]

Ответ: 22