Вычислите: \(\frac{27^{-6} \cdot 9^5}{3^{-4}}\).

Решение:

Приведём все основания к одному, а именно к 3:

\( 27 = 3^3 \)

\( 9 = 3^2 \)

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{(3^3)^{-6} \cdot (3^2)^5}{3^{-4}} \)

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{3^{3 \cdot (-6)} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{3^{-4}} = \frac{3^{-18} \cdot 3^{10}}{3^{-4}} \)

\( = \frac{3^{-18+10}}{3^{-4}} = \frac{3^{-8}}{3^{-4}} \)

\( = 3^{-8 - (-4)} = 3^{-8+4} = 3^{-4} \)

Теперь вычислим значение:

\( 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \)

Ответ: \(\frac{1}{81}\).