Вычислите: \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

Решение:

1. Упростим числитель, используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \).
2. Знаменатель можно представить в виде произведения степеней простых чисел: \( 4 = 2^2 \), \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \).
3. Тогда \( 36^4 = (2^2 \cdot 3^2)^4 = (2^2)^4 \cdot (3^2)^4 = 2^8 \cdot 3^8 \).
4. Подставим эти выражения в дробь:
5. \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot (2^8 \cdot 3^8)} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8} \)
6. Упростим знаменатель, используя свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8 = 2^{2+8} \cdot 3^8 = 2^{10} \cdot 3^8 \).
7. Теперь дробь выглядит так:
8. \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \)
9. Сократим одинаковые основания: \( 3^8 \) в числителе и знаменателе.
10. \( \frac{2^{11}}{2^{10}} \)
11. Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \( 2^{11-10} = 2^1 = 2 \).

Ответ: 2.