Вычислите интеграл: $$\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$$.

Для вычисления определенного интеграла $$\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$$, сначала найдем первообразную функции $$x^2 + 2x$$, а затем вычислим ее значение на верхнем и нижнем пределах интегрирования и найдем разность.

1. Найдем первообразную функции $$x^2 + 2x$$. Используем правило интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.

$$\int (x^2 + 2x) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C$$

2. Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

При $$x = 3$$:

$$F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 = \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$$

При $$x = 0$$:

$$F(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 = 0$$

3. Найдем разность между значениями первообразной на верхнем и нижнем пределах:

$$\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx = F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$$

Ответ: 18