Вычислите косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a} {4; 2}\), \(\vec{b}\{-4; 7}\).

Привет! Нам нужно вычислить косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Для этого воспользуемся формулой:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (4, 2)\) и \(\vec{b} = (-4, 7)\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 7\]

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = -16 + 14\]

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\]

Теперь найдем длины векторов:

\[|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\]

\[|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\]

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{65}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{1300}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-2}{10\sqrt{13}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-1}{5\sqrt{13}}\]

Ответ: \(\cos(\theta) = \frac{-1}{5\sqrt{13}}\)

Прекрасно! Ты отлично справился с задачей. Продолжай тренироваться, и все обязательно получится!