3) Вычислите определенный интеграл 1) ∫(x²+4x) dx (пределы интегрирования от -2 до 1) 2) ∫4x³ dx (пределы интегрирования от 1 до 2) 3) ∫2sin(x) dx (пределы интегрирования от 0 до π/4) 4) ∫x^0.25 dx (пределы интегрирования от 16 до 0.25)

Пошаговое решение:

1. ∫(x²+4x) dx (пределы от -2 до 1):\[ \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_{-2}^{1} = (\frac{1}{3} + 2) - (\frac{-8}{3} + 8) = \frac{7}{3} - \frac{16}{3} = -3 \]
2. ∫4x³ dx (пределы от 1 до 2):\[ \int_{1}^{2} 4x^3 dx = [x^4]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 \]
3. ∫2sin(x) dx (пределы от 0 до π/4):\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2sin(x) dx = [-2cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -2cos(\frac{\pi}{4}) - (-2cos(0)) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = 2 - \sqrt{2} \]
4. ∫x^0.25 dx (пределы от 16 до 0.25):\[ \int_{16}^{0.25} x^{0.25} dx = [\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}]_{16}^{0.25} = \frac{4}{5}(0.25^{\frac{5}{4}} - 16^{\frac{5}{4}}) = \frac{4}{5}((\frac{1}{4})^{\frac{5}{4}} - (2^4)^{\frac{5}{4}}) = \frac{4}{5}(\frac{1}{32} - 32) = \frac{4}{5}(\frac{1 - 32 \cdot 32}{32}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{-1023}{32} = -\frac{1023}{40} = -25.575 \]

Ответ:

• 1) -3
• 2) 15
• 3) \(2 - \sqrt{2}\)
• 4) -25.575