Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² +3x+4, y = x + 1.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

-x² + 3x + 4 = x + 1

-x² + 2x + 3 = 0

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x₁ = -1, x₂ = 3.

2. Вычислим определенный интеграл от разности функций:

∫[-1,3] ((-x² + 3x + 4) - (x + 1))dx = ∫[-1,3] (-x² + 2x + 3)dx

= [-x³/3 + x² + 3x] |[-1,3]

= (-27/3 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3)

= (-9 + 18) - (1/3 - 2)

= 9 - (-5/3) = 9 + 5/3 = 32/3.

Площадь фигуры равна 32/3.