Вычислите: \( \sin 45^{\circ} \sin 420^{\circ} \).

Решение:

Известно, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Для \( \sin 420^{\circ} \) воспользуемся периодичностью синуса \( \sin(\alpha + 360^{\circ}) = \sin \alpha \):

\( \sin 420^{\circ} = \sin (60^{\circ} + 360^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь перемножим значения:

\( \sin 45^{\circ} \sin 420^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{4} \).