10. Вычислите sin 2a, cos 2β, sin (а - в) и cos (а+в), если: 5 π a) sin a=, cos ẞ=-, <α<π, 2<β<π; 13 б) cos a=0,6, sin β=- , л<β<. 8 Зл 17 2< α <2л,

10. Вычислите sin 2α, cos 2β, sin (α - β) и cos (α+β), если:

a) sin α=$$\\\frac{4}{5}$$, cos β=-$$\frac{5}{13}$$, $$\frac{π}{2}$$<α<π, $$\frac{π}{2}$$<β<π;

Если $$\frac{π}{2}$$<α<π, то cos α < 0. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

cos²α = 1 - sin²α = 1 - ($$\frac{4}{5}$$)² = 1 - $$\frac{16}{25}$$ = $$\frac{9}{25}$$

cos α = ±$$\frac{3}{5}$$

Так как α во второй четверти, где косинус отрицательный, то cos α = -$$\frac{3}{5}$$

Если $$\frac{π}{2}$$<β<π, то sin β > 0. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²β + cos²β = 1

sin²β = 1 - cos²β = 1 - (-$$\frac{5}{13}$$)² = 1 - $$\frac{25}{169}$$ = $$\frac{144}{169}$$

sin β = ±$$\frac{12}{13}$$

Так как β во второй четверти, где синус положительный, то sin β = $$\frac{12}{13}$$

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 * $$\frac{4}{5}$$ * (-$$\frac{3}{5}$$) = -$$\frac{24}{25}$$

cos 2β = cos²β - sin²β = (-$$\frac{5}{13}$$)² - ($$\frac{12}{13}$$)² = $$\frac{25}{169}$$ - $$\frac{144}{169}$$ = -$$\frac{119}{169}$$

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = $$\frac{4}{5}$$ * (-$$\frac{5}{13}$$) - (-$$\frac{3}{5}$$) * ($$\frac{12}{13}$$) = -$$\frac{20}{65}$$ + $$\frac{36}{65}$$ = $$\frac{16}{65}$$

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = (-$$\frac{3}{5}$$) * (-$$\frac{5}{13}$$) - $$\frac{4}{5}$$ * $$\frac{12}{13}$$ = $$\frac{15}{65}$$ - $$\frac{48}{65}$$ = -$$\frac{33}{65}$$

Ответ: sin 2α = -$$\frac{24}{25}$$, cos 2β = -$$\frac{119}{169}$$, sin (α - β) = $$\frac{16}{65}$$, cos (α + β) = -$$\frac{33}{65}$$

---

б) cos a=0,6, sin β=-$$\frac{8}{17}$$, $$\frac{3π}{2}$$< α <2л, π<β<$$\frac{3π}{2}$$.

cos α = 0,6 = $$\frac{3}{5}$$, $$\frac{3π}{2}$$< α <2π, sin β=-$$\frac{8}{17}$$, π<β<$$\frac{3π}{2}$$

Если $$\frac{3π}{2}$$< α <2π, то sin α < 0. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

sin²α = 1 - cos²α = 1 - ($$\frac{3}{5}$$)² = 1 - $$\frac{9}{25}$$ = $$\frac{16}{25}$$

sin α = ±$$\frac{4}{5}$$

Так как α в четвертой четверти, где синус отрицательный, то sin α = -$$\frac{4}{5}$$

Если π<β<$$\frac{3π}{2}$$, то cos β < 0. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²β + cos²β = 1

cos²β = 1 - sin²β = 1 - (-$$\frac{8}{17}$$)² = 1 - $$\frac{64}{289}$$ = $$\frac{225}{289}$$

cos β = ±$$\frac{15}{17}$$

Так как β в третьей четверти, где косинус отрицательный, то cos β = -$$\frac{15}{17}$$

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 * (-$$\frac{4}{5}$$) * $$\frac{3}{5}$$ = -$$\frac{24}{25}$$

cos 2β = cos²β - sin²β = (-$$\frac{15}{17}$$)² - (-$$\frac{8}{17}$$)² = $$\frac{225}{289}$$ - $$\frac{64}{289}$$ = $$\frac{161}{289}$$

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = (-$$\frac{4}{5}$$) * (-$$\frac{15}{17}$$) - $$\frac{3}{5}$$ * (-$$\frac{8}{17}$$) = $$\frac{60}{85}$$ + $$\frac{24}{85}$$ = $$\frac{84}{85}$$

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = $$\frac{3}{5}$$ * (-$$\frac{15}{17}$$) - (-$$\frac{4}{5}$$) * (-$$\frac{8}{17}$$) = -$$\frac{45}{85}$$ - $$\frac{32}{85}$$ = -$$\frac{77}{85}$$

Ответ: sin 2α = -$$\frac{24}{25}$$, cos 2β = $$\frac{161}{289}$$, sin (α - β) = $$\frac{84}{85}$$, cos (α + β) = -$$\frac{77}{85}$$