21. Вычислите tg9° - tg27° - tg63° + tg81°

Преобразуем выражение:

\(\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ = (\tan 9^\circ + \tan 81^\circ) - (\tan 27^\circ + \tan 63^\circ)\) Используем формулу \(\tan(90^\circ - x) = \cot x\), тогда \(\tan 81^\circ = \tan(90^\circ - 9^\circ) = \cot 9^\circ\) и \(\tan 63^\circ = \tan(90^\circ - 27^\circ) = \cot 27^\circ\). Подставим в выражение: \((\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ) = (\frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ}) - (\frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ})\) Приведем к общему знаменателю: \((\frac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ}) - (\frac{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}) = \frac{1}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} - \frac{1}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}\) Используем формулу двойного угла \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \(\frac{2}{2\sin 9^\circ \cos 9^\circ} - \frac{2}{2\sin 27^\circ \cos 27^\circ} = \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ}\) Известно, что \(\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\) и \(\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}\). Тогда: \(\frac{2}{\frac{\sqrt{5} - 1}{4}} - \frac{2}{\frac{\sqrt{5} + 1}{4}} = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8(\sqrt{5} + 1) - 8(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{8\sqrt{5} + 8 - 8\sqrt{5} + 8}{5 - 1} = \frac{16}{4} = 4\)

Ответ: 4