22. Вычислите tg9°+tg15°-tg27°-ctg27°+ctg9°+ctg15°

Преобразуем выражение:

\(\tan 9^\circ + \tan 15^\circ - \tan 27^\circ - \cot 27^\circ + \cot 9^\circ + \cot 15^\circ = (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) + (\tan 15^\circ + \cot 15^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ)\) Представим тангенсы и котангенсы через синусы и косинусы: \((\frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ}) + (\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}) - (\frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ})\) Приведем к общему знаменателю: \((\frac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ}) + (\frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}) - (\frac{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ})\) Так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \(\frac{1}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} + \frac{1}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ} - \frac{1}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}\) Используем формулу двойного угла \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \(\frac{2}{2\sin 9^\circ \cos 9^\circ} + \frac{2}{2\sin 15^\circ \cos 15^\circ} - \frac{2}{2\sin 27^\circ \cos 27^\circ} = \frac{2}{\sin 18^\circ} + \frac{2}{\sin 30^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ}\) Известно, что \(\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 54^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}\). Подставим значения: \(\frac{2}{\frac{\sqrt{5} - 1}{4}} + \frac{2}{\frac{1}{2}} - \frac{2}{\frac{\sqrt{5} + 1}{4}} = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} + 4 - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}\) Приведем к общему знаменателю первую и последнюю дроби: \(\frac{8(\sqrt{5} + 1) - 8(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} + 4 = \frac{8\sqrt{5} + 8 - 8\sqrt{5} + 8}{5 - 1} + 4 = \frac{16}{4} + 4 = 4 + 4 = 8\)

Ответ: 8