19. Вычислите cos π/5 + cos 3π/5

Используем формулу суммы косинусов:

\(\cos a + \cos b = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cos(\frac{a - b}{2})\) Тогда: \(\cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) = 2 \cos(\frac{\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}}{2}) \cos(\frac{\frac{\pi}{5} - \frac{3\pi}{5}}{2}) = 2 \cos(\frac{4\pi}{10}) \cos(\frac{-2\pi}{10}) = 2 \cos(\frac{2\pi}{5}) \cos(-\frac{\pi}{5}) = 2 \cos(\frac{2\pi}{5}) \cos(\frac{\pi}{5})\) Теперь, зная, что \(\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\) и \(\cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\), подставим эти значения: \(2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{4} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}{16} = \frac{2(5 - 1)}{16} = \frac{2 \cdot 4}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\)

Ответ: 1/2