Выполните упражнения 1) Найдите первообразную для следующих функций: А) f(x) = √3; Б) f(x) = x⁸; В) f(x) = 1/x⁵; Г) f(x) = 2 - x⁴ + 3x⁷

Решение:

Чтобы найти первообразную (интеграл) для каждой функции, мы применим основные правила интегрирования:

• Интеграл от константы: \(\int c \, dx = cx + C\)
• Интеграл от xⁿ: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (где \(n
  eq -1\))
• Интеграл от 1/x: \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)

Применение к функциям:

• А) f(x) = √3

  Это константа. Первообразная будет:

  \[F(x) = \sqrt{3}x + C\]
• Б) f(x) = x⁸

  Применяем правило для xⁿ:

  \[F(x) = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^9}{9} + C\]
• В) f(x) = 1/x⁵

  Перепишем как x⁻⁵ и применим правило для xⁿ:

  \[F(x) = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C\]
• Г) f(x) = 2 - x⁴ + 3x⁷

  Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

  \[F(x) = \int 2 \, dx - \int x^4 \, dx + \int 3x^7 \, dx\]\[F(x) = 2x - \frac{x^{4+1}}{4+1} + 3\frac{x^{7+1}}{7+1} + C\]\[F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + \frac{3x^8}{8} + C\]

Ответ:

• А) F(x) = √3x + C
• Б) F(x) = x⁹/9 + C
• В) F(x) = -1/(4x⁴) + C
• Г) F(x) = 2x - x⁵/5 + 3x⁸/8 + C