Высота AD равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) делит сторону BC на отрезки BD = 5 см и DC = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Так как AD - высота, проведенная к стороне BC, то она перпендикулярна BC. Поскольку AD делит сторону BC, то BC = BD + DC = 5 + 8 = 13 см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Однако в данном случае AD проведена к боковой стороне BC, поэтому AD не является медианой. Треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC), AD - высота. Треугольник ADC - прямоугольный. По теореме Пифагора, $$AD^2 + DC^2 = AC^2$$, то есть $$AD^2 + 8^2 = AC^2$$ Рассмотрим треугольник ABD. Он тоже прямоугольный. $$AD^2 + BD^2 = AB^2$$, то есть $$AD^2 + 5^2 = AB^2$$. Так как AB=BC=13, то $$AD^2 + 25 = 169$$, откуда $$AD^2 = 144$$, и AD = 12 см. Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нем $$AD^2 + DC^2 = AC^2$$, то есть $$12^2 + 8^2 = AC^2$$, откуда $$AC^2 = 144 + 64 = 208$$, и $$AC = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$$ см. Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения высоты на основание: $$S = \frac{1}{2} AD \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78 \text{ см}^2$$ Ответ: 78 см²