Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к основанию равно 5:6.

Пусть $$h$$ – высота, проведённая к основанию, $$b$$ – боковая сторона, $$a$$ – основание. Дано: $$h = 12$$ см, $$b:a = 5:6$$, то есть $$b = 5x$$, $$a = 6x$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$ $$12^2 + (\frac{6x}{2})^2 = (5x)^2$$ $$144 + (3x)^2 = 25x^2$$ $$144 + 9x^2 = 25x^2$$ $$16x^2 = 144$$ $$x^2 = 9$$ $$x = 3$$ Тогда основание $$a = 6x = 6 \cdot 3 = 18$$ см. Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108 \text{ см}^2$$ Ответ: 108 см²