4. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите: а) полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°; 6) длину высоты пирамиды.

Пошаговое решение:

• а) Найдем сторону основания пирамиды:

Высота боковой грани (апофема) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой пирамиды. Угол между апофемой и плоскостью основания равен 60°. \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\] \[\sqrt{3} = \frac{10}{\frac{a}{2}}\] \[a = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\]

• Площадь основания пирамиды:

\[S_{осн} = a^2 = (\frac{20\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{400 \cdot 3}{9} = \frac{400}{3}\]

• Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h = \frac{1}{2} (4 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3}) \cdot 10 = \frac{400\sqrt{3}}{3}\]

• Полная поверхность пирамиды:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{400}{3} + \frac{400\sqrt{3}}{3} = \frac{400(1 + \sqrt{3})}{3}\]

• б) Найдем высоту пирамиды:

\[h = \frac{a}{2} \cdot \tan(60^\circ) = \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{10 \cdot 3}{3} = 10\]

Ответ: а) Полная поверхность пирамиды равна \(\frac{400(1 + \sqrt{3})}{3}\) см²; б) Высота пирамиды равна 10 см.