5. Высота h (в м), на которой через t секунд окажется брошенное вертикально вверх тело, вычисляется по фор- муле h = vt - 5t², где v начальная скорость (в м/с). В какой момент времени тело окажется на высоте 300 м, если за 1 с оно поднялось вверх на 75 м?

Решение задачи:

1. Шаг 1: Найдем начальную скорость v₀.

Используем информацию, что за 1 секунду тело поднялось на 75 метров. Подставим t = 1 и h = 75 в формулу:

\[75 = v_0 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2\] \[75 = v_0 - 5\] \[v_0 = 75 + 5 = 80 \text{ м/с}\]
2. Шаг 2: Запишем уравнение для высоты 300 метров.

Теперь, когда мы знаем начальную скорость, можем записать уравнение для высоты h = 300 м:

\[300 = 80t - 5t^2\]
3. Шаг 3: Преобразуем уравнение в квадратное.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[5t^2 - 80t + 300 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

\[t^2 - 16t + 60 = 0\]
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае a = 1, b = -16, c = 60.

Дискриминант:

\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16\]

Корни уравнения:

\[t_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2} = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ с}\] \[t_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ с}\]
5. Шаг 5: Анализ результатов.

Мы получили два значения времени: 6 секунд и 10 секунд. Это означает, что тело окажется на высоте 300 метров дважды: один раз при подъеме (через 6 секунд) и второй раз при падении (через 10 секунд).

Ответ: Тело окажется на высоте 300 метров через 6 секунд и через 10 секунд.