13. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.

Решение:

1. Пусть h - высота конуса, r - радиус основания, d - расстояние от вершины до центра основания конуса.

2. Площадь сечения, проведенного через вершину, можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} a h$$, где a - длина основания сечения, h - высота сечения.

3. Высоту сечения можно найти по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{20^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544}$$.

4. Основание сечения $$a = 2 \sqrt{25^2 - 12^2} = 2 \sqrt{625 - 144} = 2 \sqrt{481}$$.

5. Тогда площадь сечения равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{481} \cdot \sqrt{544} = \sqrt{481 \cdot 544} = \sqrt{261584} \approx 511.45$$.

Ответ: $$\sqrt{481 \cdot 544} \approx 511.45$$