8. Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 466).

Решение:

1. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое является прямоугольником со сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру основания. В данном случае это прямоугольник со сторонами 2 м и 14 м.

2. Квадрат вписан наклонно, значит, его вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Диагональ квадрата является хордой окружности основания.

3. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра, половиной стороны квадрата, лежащей на основании, и половиной диагонали квадрата. Используем теорему Пифагора:

$$(\frac{a}{2})^2 + 2^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$$

$$\frac{a^2}{4} + 4 = \frac{2a^2}{4}$$

$$4 = \frac{a^2}{4}$$

$$a^2 = 16$$

$$a = 4$$

Ответ: 4 м