Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°; б) площадь боковой поверхности конуса.

а) Пусть высота конуса $$ h = 6 $$ см, угол при вершине осевого сечения $$ \alpha = 120^\circ $$. Обозначим образующую конуса за $$ l $$, а радиус основания за $$ R $$. Из осевого сечения, которое представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $$ 120^\circ $$, можно найти радиус основания. Высота конуса является также медианой и биссектрисой в этом треугольнике. Тогда угол между высотой и образующей равен $$ 60^\circ $$. Из прямоугольного треугольника с углом $$ 60^\circ $$ имеем: $$ R = h \cdot tg(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} $$ см. Теперь найдем образующую конуса: $$ l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 $$ см. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен $$ 30^\circ $$, можно найти по формуле: $$ S = \frac{1}{2} l^2 \cdot sin(\beta) $$, где $$ \beta = 30^\circ $$. Тогда $$ S = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = 36 $$ см². б) Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $$ S_{бок} = \pi R l $$. Подставляя известные значения, получаем: $$ S_{бок} = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\sqrt{3}\pi $$ см². Ответ: а) Площадь сечения равна 36 см². б) Площадь боковой поверхности равна $$72\sqrt{3}\pi$$ см².