Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \( h(t) = 1,6+8t-5t^2 \), где \( h \) — высота в метрах, \( t \) — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение:

Нам нужно найти время, в течение которого высота \( h(t) \) будет не менее 3 метров. Для этого решим неравенство:

\[ h(t) \geq 3 \]

\[ 1,6 + 8t - 5t^2 \geq 3 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

\[ 0 \geq 5t^2 - 8t + 3 - 1,6 \]

\[ 5t^2 - 8t + 1,4 \leq 0 \]

Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 5t^2 - 8t + 1,4 = 0 \). Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1,4 = 64 - 28 = 36 \]

Теперь найдём корни \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 6}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 6}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \]

Парабола \( y = 5t^2 - 8t + 1,4 \) имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при \( t^2 \) положителен). Неравенство \( 5t^2 - 8t + 1,4 \leq 0 \) выполняется между корнями, то есть на отрезке \( [0,2; 1,4] \).

Время, в течение которого мяч находится на высоте не менее 3 метров, равно разности между большим и меньшим корнями:

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 1,4 - 0,2 = 1,2 \text{ секунды} \]

Ответ: 1,2