15. Высота равнобедренной трапеции ABCD, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 23 и 8. Найдите длину основания BC.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, а C - вершина, из которой проведена высота к AD. Эта высота делит основание AD на отрезки длиной 23 и 8. Так как трапеция равнобедренная, проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований. Обозначим проекцию боковой стороны AB на основание AD как AH. Тогда: $$AH = \frac{AD - BC}{2}$$ Высота, проведенная из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 23 и 8. Это означает, что один из отрезков (23) является суммой проекции боковой стороны и половины разности оснований, а другой (8) является половиной разности оснований, так как трапеция равнобедренная. Следовательно, отрезок длиной 8 - это часть от основания AD до основания высоты из вершины C. Поскольку трапеция равнобедренная, можно сказать, что: $$\frac{AD - BC}{2} = 23 - x$$ (где x - отрезок, который получается при делении основания высотой) А отрезок длиной 8 - это часть основания AD, которая равна: $$x = 8$$ Тогда $$AD - 23 = 8 \Rightarrow BC = AD - 2 \cdot 8$$. Значит, $$BC = AD - 16$$ Так как длина AD равна 23 + 8 = 31: $$AD = 23 + 8 = 31$$ $$BC = 31 - 2 \cdot (31 - 23) = 31 - 2 \cdot 8 = 31 - 16 = 15$$ Таким образом, длина основания BC равна 15. Ответ: 15