9. Высота равностороннего треугольника равна 35√3. Найдите сторону этого треугольника.

9. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне, является и медианой, и биссектрисой. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда половина стороны равна a/2. Высота равна 35√3.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (35\sqrt{3})^2 + (\frac{a}{2})^2$$

$$a^2 = 35^2 \cdot 3 + \frac{a^2}{4}$$

$$a^2 - \frac{a^2}{4} = 35^2 \cdot 3$$

$$\frac{3}{4}a^2 = 35^2 \cdot 3$$

$$a^2 = 35^2 \cdot 4$$

$$a = 35 \cdot 2 = 70$$

Ответ: 70