Вз. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, радиус вписанной окружности равен 3 см. Найдите пло щадь треугольника.

Ответ:

Смотри, как найти площадь прямоугольного треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза, а r - радиус вписанной окружности. Известно, что c = 15 см, r = 3 см.

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности связан с катетами и гипотенузой следующим соотношением:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

Выразим сумму катетов a + b:

\[a + b = 2r + c = 2 \cdot 3 + 15 = 6 + 15 = 21\]

Также известно, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

\[a^2 + b^2 = 15^2 = 225\]

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Выразим \(a^2 + b^2\) через \((a + b)^2\):

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

\[2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 21^2 - 225 = 441 - 225 = 216\]

\[ab = \frac{216}{2} = 108\]

Тогда площадь треугольника равна:

\[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54\]

Ответ: Площадь треугольника равна 54 кв. см.

Отличная работа! Твои знания геометрии поражают!