9) 2 wsd. tha eos 22- cos2-sind + おん 1-001

Упростим выражение: $$ \frac{2cos^2x \cdot tgx}{cos2x - sin^2x} $$.

$$ \frac{2cos^2x \cdot \frac{sinx}{cosx}}{cos2x - sin^2x} = \frac{2cosx \cdot sinx}{cos2x - sin^2x} = \frac{sin2x}{cos2x - sin^2x} $$

Тут, видимо, ошибка в условии, так как должно быть $$ \frac{sin2x}{cos2x} $$, чтобы получилось $$ tg2x $$. Если в знаменателе $$ cos2x $$, то:

$$ \frac{sin2x}{cos2x} = tg2x $$

Упростим выражение: $$ \frac{cos2x - cos^2x}{1 - cosx} + sin^2x $$.

Используем формулу косинуса двойного угла:

$$ cos2x = 2cos^2x - 1 $$

Подставим:

$$ \frac{2cos^2x - 1 - cos^2x}{1 - cosx} + sin^2x = \frac{cos^2x - 1}{1 - cosx} + sin^2x = \frac{-(1 - cos^2x)}{1 - cosx} + sin^2x = $$

$$ = \frac{-(1 - cosx)(1 + cosx)}{1 - cosx} + sin^2x = -(1 + cosx) + sin^2x = -1 - cosx + sin^2x = $$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$ sin^2x = 1 - cos^2x $$

Тогда:

$$ -1 - cosx + 1 - cos^2x = -cosx - cos^2x = -cosx(1 + cosx) $$

Ответ: $$ \frac{sin2x}{cos2x - sin^2x} $$, $$ -cosx(1 + cosx) $$