2x² + 9x − 18 . 4x2-9

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$2x^2 + 9x - 18$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 + 9x - 18 = 0$$

$$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$$

$$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$$

Тогда $$2x^2 + 9x - 18 = 2(x - 1.5)(x + 6) = (2x - 3)(x + 6)$$

Знаменатель: $$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$$

Дробь:

$$\frac{2x^2 + 9x - 18}{4x^2 - 9} = \frac{(2x - 3)(x + 6)}{(2x - 3)(2x + 3)}$$

Сокращаем на $$(2x - 3)$$

$$\frac{(2x - 3)(x + 6)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{x + 6}{2x + 3}$$

Ответ: $$\frac{x + 6}{2x + 3}$$