7.3x³+4x²-4x ≤ 0

7. Решим неравенство $$3x^3+4x^2-4x \le 0$$.

Вынесем x за скобки: $$x(3x^2+4x-4) \le 0$$.

Решим квадратное уравнение $$3x^2+4x-4 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$.

Найдем корни квадратного уравнения:

• $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4+8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.
• $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4-8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$.

Неравенство примет вид: $$x(x-\frac{2}{3})(x+2) \le 0$$.

Найдем нули:

• $$x = 0$$.
• $$x = \frac{2}{3}$$.
• $$x = -2$$.

Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

        -             +              -             +
------------(-2)-------------(0)-------------(2/3)-------------> x

Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $$x \in (-\infty; -2] \cup [0; \frac{2}{3}]$$.